Книга -

Эти слова показывают, что за геометрической формой изложения скрывается содержание ньютонова метода флюксий, пронизывающего всю его геометрию. Такова была его идея, которая состояла в том, чтобы рассматривать количества и движения не как строго определенные, обособленные величины, а как величины, находящиеся в процессе возникновения, изменения или исчезновения. Ньютон сумел обновить астрономию потому, что одновременно он был и новатором в математике. В своих доказательствах он использовал геометрические построения, состоявшие из прямых линий и треугольников конечных размеров. Но затем он высказывает предположение, что число таких отрезков увеличивается, а их размеры уменьшаются до бесконечности для того, чтобы получить соответствие с криволинейной орбитой и непрерывно действующей силой. Ньютон показал, что доказательства будут в атом случае достаточно строгими.

При помощи тех же самых геометрических построений было доказано обратное: «Если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к пеподвижной точке,... описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной силы»¹⁵. Таким образом, второй закон Кеплера о том, что описываемые радиусом- вектором площади пропорциональны интервалам времени, доказал, что планеты движутся под действием направленной силы, исходящей из Солнца. Для случая кругового движения Ньютон показал, что его метод приводит к центробежной силе, которую вывел Гюйгенс.

Затем, в XI Предложении Ньютон вывел обычным способом закон центростремительной силы Солнца из первого закона Кеплера о том, что орбита планеты является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Используя хорошо известные геометрические свойства эллипса, он нашел, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца. Ввиду особой важности этого доказательства для истории астрономии мы воспроизводим его в комментариях ¹⁶. То же изменение силы с расстоянием, как было показано выше, было найдено при сравнении двух различных планет (для простоты предполагалось, что их орбиты круговые), к которым применялся третий закон Кеплера. Это озпачало, что различные планеты на одинаковом расстоянии от Солнца имеют одинаковые ускорения силы тяжести, следовательно, сила притяжения Солнца, действующая на планеты, не зависит от вещества, из которого они состоят. Благодаря этому законы Кеплера впервые получили «права гражданства». Выведенные сначала эмпирически, они были теперь прочно обоснованы как следствия из закона всемирного тяготения. Неоднократные попытки установить другие орбиты или законы скоростей движения, предпринимавшиеся в XVII в., потеряли теперь всякий смысл.