Книга -

(1) в 15 г. эры Адриана 26/27 египетского месяца тпби, т. е. 15/16 декабря 130 г. н. э., в час ночи долгота была 81°;

(2) в 19 г. эры Адриана 6/7 месяца фармути, т. е. 21 февраля 135 г. н. э., в 9 часов вечера долгота была 148°50^/;

(3) во втором году эры Антонина 12/13 месяца эпифп, т. е. 27 мая 139 г. н. э., в 10 часов вечера долгота была 242' 34.

Из интервалов времени, отбрасывая целое число обращений,, вычислим углы между направлениями, как они видны из экванта: 81°44' и 95°28'; между направлениями, как они видны с Земли, эти углы равны: 67°50' и 93°44'. Эти данные представлены на рис. 14.

Задачу нельзя было решить прямо; Птолемей решал ее методом последовательных приближений. Прежде всего он предположил, что кривая, описанная около экванта,— окружность. Тогда задача, поставленная выше, может быть решена непосредственно, при помощи геометрических теорем Эвклида и вычисленных самим Птолемеем таблиц хорд для всех углов — прототипа наших более поздних таблиц синусов. В результате был получен большой эксцентриситет, половина которого равна той величине, на которую следовало передвинуть окружность. Теперь он снова вычислял, насколько от эюго смещения изменяются направления, видимые с Земли, и повторял вычисление с исправленными значениями долгот во втором приближении. Для третьего приближения требуются весьма небольшие поправки, которые целиком удовлетворяют исходным данным. В этих расчетах, которые он полностью привел в приложении, Птолемей применил метод приближения в виде сходящегося ряда, который играл такую важную роль в более поздней математике.

Полученные таким образом результаты для полного эксцентриситета, выраженные в 360-х долях радиуса, и долготы апогея равны: для Марса ⁷²/₃ео = 0,200 и 115°30'; для Юпитера ³³/₃₆о = 0,092 и 161°; для Сатурна ^4,/збо = 0,114 и 233°.